初中数学二倍角的解法（初中数学等腰三角形的证法）

判定一个三角形是等腰三角形，有两种基本方法：一是证明两角相等，二是证明两边相等。

一、根据等角对等边来解决问题

例1、如图1，AO平分∠BAC，∠1=∠2，试说明△ABC是等腰三角形。

分析：题中有角平分线时，常自角平分线上一点作角两边的垂线。

解析：如图2，由题设可知，∠1=∠2，∠3=∠4。仅有角相等，无论是证AB=AC还是证∠ABC=∠ACB都不够，因此想到作辅助线。由于AO为∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，过点O向角的两边作垂线OE、OF，这样得到一对直角和一组边相等：OE=OF。

因为∠1=∠2，所以OB=OC。

所以Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）。

所以∠5=∠6。

所以∠1 ∠5=∠2 ∠6，即∠ABC=∠ACB。

所以AB=AC。△ABC为等腰三角形。

二、两边相等

证两边相等，可以考虑下面四种方法。

1、通过三角形全等证线段相等

例2、如图3所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上的一点，连接BE、CE。试说明△EBC为等腰三角形。

解析：根据已知条件AB=AC，AD⊥BC，易知BD=CD。由于AD⊥BC，DE为公共边，可得△BDE≌△CDE（SAS）。所以BE=CE。△EBC为等腰三角形。

2、利用线段垂直平分线的性质证线段相等

如上面的例2，可以发现AE是线段BC的垂直平分线，由于线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以BE=CE。这样就省略去了证△BDE≌△CDE的步骤。

3、利用线段的和与差证线段相等

例3、如图4所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D。试问：线段AE与AF相等吗？

解析：由于AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质，易知有BD=CD。结全BE=CF知ED=FD，故AD是线段EF的垂直平分线，于是AE=AF。

4、利用面积法证线段相等

例4、在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。试说明PE=PF。

分析：要证两线段相等，常用三角形全等来证。如果已知条件中有等腰三角形存在，那么等腰三角形三线合一的性质经常会用到。审题时一定要注意中点、垂直等条件。有时候已知条件不够，要适当添加辅助线，常作的辅助线是高（垂线）、平行线等。

解析：连接AP，如图5，根据题意知AP⊥BC，BP=CP。所以△ABP和△ACP的面积相等。而△ABP和△ACP的面积还可以分别通过把AB、AC当作底，PE、PF当作高来表示，即

AB·PE=AC·PF。而AB=AC，易得PE=PF。

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