欧拉公式立体几何证明（被称为上帝公式的欧拉公式你还不会推导吗）

一般地，我们可以用 表示复数，其中

若将复数看作在复平面上一个的一个点

考虑把该点转化为极坐标表示：

我们使 ，其中

得到复数还可以表示为

即

我们先考虑一个引理：

引理1：如果一个复数表示为那么它的n次方就可以表示为

证明：我们用一般的代数方式可以得到：

整理得

类推可知 证毕

接下来我们考虑另一个引理：

引理2： 证明

证明：我们知道

那么 证毕

接下来我们尝试将引理2这个公式推广到复数域：

设 ， ，其中

则根据引理2有 ，接下来证明右边的极限存在。

首先

利用引理1可以将上式表示为极坐标形式

我们先考虑一次形式： ，它也可以写为极坐标形式

易得

又 得到

所以 且

我们分别计算这两个部分的极限：

由于 这一极限不好求，所以我们求 的极限。

我们根据等价无穷小 得到

即

所以知道 故

接下来计算

我们根据等价无穷小

得到：

所以

故：

所以

这就是著名的欧拉公式：

我们取 代入得 ，它将数学里几个特殊的量以一种简洁且明确的方式联系在了一起。