实数大小比较典型题（证明实数不可列）

上一期证明了实数是连续的，这是有理数所没有的性质，这一期来证明实数集不可列，也就是不能排成一列，实数集不可列其实与实数系连续性定理是有关联的。可列的无穷集合我们叫做可数集合，不可列的叫做不可数集合。其实对无穷这个概念，人很难直观去感知，如果集合是有限的，我们能够比较它们元素个数的多少，但都是无穷，无穷之间有等级吗？答案是有等级，由于是无限的，无法用具体的数子表示元素个数，所以就定义了“势”或“基数”这个概念。如果两个无穷集合等势，就表明它们元素个数相等，也可以说有相同的基数。涉及到无限，这里就会有一些违背人直觉的结论，例如，整数集元素个数和有理数集元素个数相同，即整数集和有理数集的基数相等，都是可数集，可数集的基数记作a。要证明有理数集可数只要能将全体有理数排成一列就可以了，接下来我们证明实数不可数，这其实意味着实数要比有理数多得多。如果将全体实数比作整个夜空，那么有理数只是夜空中的星星。

前面说了实数集不可列与实数系连续性定理是关联，所以下面用两种方法证明实数集不可列。

现证明[0，1]上的所有实数不可列

方法一：

反证法。假若实数集可列，则将（0.1）上的所有实数排成一列：

现在找一个（0.1）上不在这一列中的实数，

显然y与列表中任何实数都不相同，可是（0.1）上的所有实数都排在这个列表中，于是矛盾。

方法二：方法二利用了实数系基本定理之中的闭区间套定理。

反证法。假若实数集可列，则将（0.1）上的所有实数排成一列：

有些同学可能会想，实数比有理数多很多，那它们数量之间有没有一个关系。由于有理数集和实数集都是无穷集合，无法用数字来表示数量的多少，但可以将它们的基数做一个比较，在我的短视频中，证明了实数集与可数集的幂集等势，如果a是可数基数，c为实数集基数，则c等于2的a次方。