指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1。

指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号(Sign of power)的种类繁多，且记法多样化。

指数

exponential

数学

幂运算aⁿ中的a的次数

指数位于底数的右上角

幂运算、指数函数

定义

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。

当指数时，

当指数，且n为整数时，

当指数时，

当指数时，称为平方

当指数时，称为立方

幂运算

幂运算（指数运算）是一种关于幂的数学运算。同底数幂相乘，底数不变，指数相加[1]；同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的幂，底数不变，指数相乘。下面a≠0。

1）

2）

3）

4）

5）

对数运算

如果，即的次方等于(且)，那么数叫做以为底的对数，记作

其中，叫做对数的底数，叫做真数，叫做“以为底的对数”。由此可见，在某种情况下(底数>0，且不为1)，指数运算中的指数可以通过对数运算求解得到。

指数函数

一般地，形如(a>0且a≠1)()的函数叫做指数函数(exponential function)，也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。

指数函数图像如图1所示：

故事

曾经有人问爱因斯坦，世界上什么事情最可怕？爱因斯坦说：“复利最可怕。”

复利就是将本金按一定利息存入银行，到期将利息计入本金继续存入银行，本利不断增加。如果本金为，年利息率为，年后可以从银行取出的钱为。一般年利率不会超过15%，而指数项，即存入银行的年限却增长很快，当足够大时，本利相加会达到极其大的值。纽约曼哈顿地区是早期移民以价值200美元的珠宝从印地安人手中买下的，如果当初将200美元存入银行，至今本息比曼哈顿的全部房产价值还要高。如果存入银行1000元，年利率5%，若计复利的话，那么200年后的便可以从银行取到元，即1.73×107元。

传说在古印度有位国王要赏赐一位宰相，就问宰相想要什么，宰相拿出一张国际象棋的棋盘。笑着说，我只求您给我一些麦粒，在第一个格子里放一粒（），第二格子里放两粒（），第三个格子里放四粒（），也就是第n个格子里放粒，直到每个格子的麦粒放好．国王以为这太简单了，就爽快地答应了。可是等到真要执行这个诺言时国王却不得不反悔了．这是为什么呢？国际象棋棋盘共有64个格，按宰相的要求总共需要的麦粒数为等比数列的和，即为粒。若1公斤麦粒5万粒，那么总共需要的麦粒为吨。这些麦粒也许把全国的麦子全拿来都不够，国王怎么可能答应呢？

不管是复利的可怕还是宰相的狡猾，都是因为其中含有共同的关键因素——指数项，是指数项的奇妙作用，使得看似简单的事情令人吃惊。

发展历程

指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号(Sign of power)的种类繁多，且记法多样化。

我国古代“幂”字至少有十各不同的写法。

刘徽为《九章算术》作注，在《方田》章求矩形面积法则中写道：“此积谓田幂，凡广从相乘谓之幂(长和宽相乘的积叫作幂)。”这是第一次在数学文献上出现幂。

《准南子·天文训》讲到乐律，有这样几句话：“故黄钟之律九寸，而宫音调；因而九之，九九八十一，故黄钟之有选举权立焉......十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。”可翻译如下：发出黄钟音律的管长9寸，它的音调叫作宫。用9去乘它得81。81这个数叫作黄钟数。12律的每一个是根据三分损益这个原则造成的。所以将3乘了11次，得到的积，分管长177147等份，这177147叫作黄钟大数，以别于黄钟数81。很明显，“置一而十一三之”就是乘方运算，11就是指数。整句话包含式子，具有指数的初步概念。

1607年，利玛窦和徐光启合译欧几里得的《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字，并有注解：“自乘之数曰幂。”这是第一次给幂这个概念下定义。

至十七世纪，具有“现代”意义的指数符号才出现。最初的，只是表示未知数之次数，但并无出现未知量符号。比尔吉则把罗马数字写于系数数字之上，以表示未知量次数。其后，开普勒等亦采用了这符号。罗曼斯开始写出未知量的字母。1631年，哈里奥特(1560-1621)改进了韦达的记法，以aa表示,以aaa表示。1636年，居于巴黎的苏格兰人休姆(James Hume)以小罗马数字放于字母之右上角的方式表达指数，如以表示，该表示方式除了用的是罗马数字外，已与指数表示法相同。笛卡儿(1596-1650)以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数，是现今通用的指数表示法。