帕斯卡定理(射影几何中一个重要定理)

 2023-10-02  阅读 488  评论 0

摘要:帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形(包括退化的六边形)其三对边的交点共线,与布里昂雄定理对偶,是帕普斯定理的推广。 定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)所发现,被称为帕斯卡定理,是射影几何中的一个重要定理。帕斯卡定理Pascal's Theorem 液

帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形(包括退化的六边形)其三对边的交点共线,与布里昂雄定理对偶,是帕普斯定理的推广。 定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)所发现,被称为帕斯卡定理,是射影几何中的一个重要定理。

帕斯卡定理

 Pascal's Theorem 

液压传递原理

帕斯卡

射影几何 

发展简史

定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)所发现,被称为帕斯卡定理,是射影几何中的一个重要定理。[2]

定理定义

帕斯卡定律,也叫液压传递原理(the principle of transmission of fluid-pressure),用今天的话说,即不可压缩液体局域压强的变换可以传递到各处。[1]

验证推导

可以利用射影变换,将圆锥曲线的命题转化为圆的命题

只需要证明圆的内接六边形ABCDEF三双对边的交点共线即可

帕斯卡定理的证法有许多种,在此只列举六种

1.面积法

图示1

设交于,交于,交于

连接,设交于'(如图1中图1),交于''(如图1中图2)

要证共线,只需证交于一点

只需证:,即证:

共边定理+共角定理可得:

命题得证。

2.位似证法:

图示2

作外接圆交于于

同理可得:

与 位似

又位似三角形对应点的所在的直线交于一点

即交于一点,此点为

共线,命题得证。

3.射影证法

图示3

圆锥曲线 (以椭圆为例) 上六点,,,, 求证 共线 在异于题设所在平面的空间上任取一点作为射影中心,将射影为一对平行直线;将射影为一对平行直线,再将中 心射影后图形中的椭圆仿射为圆(如图2)

则由平行四边形及同弧圆周角性质知 , 则 , 根据同圆内等弦长对应等圆周角推导知,则观察图2 中两个绿色三角形笛沙格定理(逆)知,则帕斯卡定理得证。

4.平行证法

圆锥曲线 (以圆为例) 上六点,, ,,求证 共线 如图3作辅助线,记三角形外接圆与本圆于,易证。

令,则由平行推知 ,即K共圆。同理令,则有共圆。则

故 ,则帕斯卡定理得证。

5.角元塞瓦定理证法

图示4

利用角元塞瓦定理逆定理证明共点(下面推导省去符号)

我们有

(第二步为对用角元塞瓦定理)因此共点,即共线。

6.梅涅劳斯定理证法:

设交于交于交于

对和截线分别应用梅涅劳斯定理得:

三式相乘得:

圆幂定理得:

将(2),(3),(4)式代入(1)得:

梅涅劳斯逆定理得:共线,命题得证。

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