圆的面积计算公式知识点（最全详解为何圆面积公式是S）

今天我们来谈谈圆的面积公式。

我们知道如果一个圆的半径为r，则圆的面积：

S=πr^2

那么圆面积公式是怎么来的呢？

首先解释圆周长公式，圆的周长：

C=2πr

圆的周长公式是怎么来的呢？

答案很简单，这就是定义。

首先很显然，任何两个圆都是相似的，所以所有圆的周长C与直径2r的比值都是一个定值。

我们将C与2r的比值定义为常数π，称为圆周率。

π=C：2r=C/2r

C=2πr

人们通过不断地研究，找到了计算圆周率π的多种方法。

π=3.1415926…

圆的面积应该如何来求呢？很多科普文章是如下图所示来解释的。

这种解释确实很直观，但总感觉严密性不够。

接下来我来进行严密证明。

我们首先作圆心为O的圆的内接n边形，连接三角形OAB，其面积为S△OAB。

很显然有：OA=OB=r

内接n边形的面积：Sn=nS△OAB

由于圆周角为360°

所以：∠AOB=360°/n

接下来我们来求S△OAB。

我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以2。

三角形底边长为a，高为h：

S△=ah/2

△0AB的底边为AB，高h为OC。

S△0AB=AB×OC/2

但是我们会发现求AB和OC的长度都比较复杂，所以我们必须换一个求三角形面积的公式。

正弦定理：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R为△ABC外接圆的半径

正弦定理推论：

S△ABC=abc/4R

=absinC/2=acsinB/2=bcsinA/2

OA=OB=r，∠AOB=360°/n

将角度转化为弧度

360°=2π（rad）

∠AOB=360°/n=2π/n

S△ABC=OA×OB×sin∠AOB/2

=r×r×sin(2π/n)/2=r^2sin(2π/n)/2

S△ABC=r^2sin(2π/n)/2

Sn=nS△OAB=nr^2sin(2π/n)/2

我们再来看看这个圆的内接n边形，很显然，边数n越大，这个n边形就越接近于圆。当n趋于无穷大时，这个n边形的极限就是圆。自然，这个n变形的面积的极限就是圆面积。

S=lim(Sn)，n→∞

=lim[nr^2sin(2π/n)/2]

=πr^2lim[sin(2π/n)/(2π/n)]

要想求出这个极限，我们需要利用到一个非常重要的极限。

重要极限：lim(sinx/x)=1，x→0

我在之前的文章曾严格证明了这个重要极限，需要了解的朋友，可以前往我的主页进行翻看。

注意到：lim(2π/n)=0，n→∞

所以有：

lim[sin(2π/n)/(2π/n)]，n→∞

=lim[sin(2π/n)/(2π/n)]，2π/n→0

=1

---

S=lim(Sn)，n→∞

=πr^2lim[sin(2π/n)/(2π/n)]

=πr^2×1=πr^2

S=lim(Sn)=πr^2，n→∞

我们严格证明了圆的面积公式：

S=πr^2

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