向量积的使用方法（小明聊黎曼3）

寻找以下无穷级数的一个闭型（所谓闭型即精确值）：

上面这个级数我们称之为巴塞尔级数，和调和级数非常相似，只不过分母都是自然数的平方。这个问题在其提出后46年，1735年，被年轻的欧拉所破解，该级数收敛至(π^2)/6。欧拉不仅对于巴塞尔问题给出了解，而且在1740年给出了对于那些n是偶次方的级数的解（如下式，其中B为贝努利常数:）

但对于n是奇数的情况，欧拉什么也没有说。直到1978年，才证明了n=3时这个数是个无理数。

ζ函数的级数的收敛值随着n的不同而不同，对于偶数我们有欧拉给到的具体结果，对于奇数我们知之甚少。而上式也让我们和黎曼ζ函数有了第一次联系，黎曼将他1859年的论文中有关上式的变量n改成了s，如下式：

我们知道当s=1的时候，级数是发散的，当s>1时，级数收敛，那么针对每一个s(s>1)都有一个相对应的值，我们把它绘制成图形就如下图：

而当s<1时，你可以很快发现这个级数都是发散的，那么对于黎曼ζ函数上图就是全部的图形吗？当然不是。

我们利用埃拉托色尼筛法对ζ函数的连加形式做一些调整。首先等式两边同乘1/(2^s)，得到：

我们用ζ函数减去上式，即消去了所有2的倍数的项，得到：

我们依葫芦画瓢，上式再乘1/(3^s)，得到：

仍然让两式相减，得到：

如果我们继续不断的做下去，会将把所有的素数都提取出来放到了等式的左边，而等式的右边则为1：

我们把上式整理一下，把所有的素数挪到等式右边，用连乘积符号表示如下：

这样和所有自然数相关的一个和，与所有素数相关的一个积就这样联系到了一起，这就是欧拉乘积公式，它将一个连续的和变成了连续的积：

要介绍这个函数牵扯到微积分，我这边不多赘述，导数指的是函数曲线的切线斜率，积分指的是函数曲线下方的面积。而Li(x)其实是对1/ln(x)求积分得到（如下式），为什么特别用这么个符号，因为这个积分无法用初等方法表示。

附送它的图像：

为什么要提到这个函数，因为它是对素数个数π(x)的一个更好的估计，修正后的素数定理可以表示为：

下图展示了，2个对于素数个数估计的近似结果，可以看出Li(x)更接近于实际值。