圆域的二重积分怎么求（sint2dt的积分怎么求这是一个超越积分）

求sint^2dt的积分，即求∫sint^2dt，就是要找到sint^2的原函数。很多人把它和求(sint)^2的积分混为一谈。其实这是完全不同的两个积分。

不过sint^2的原函数并不是一个初等函数。也就是说它是由无限个基本初等函数构成的。原函数不是初等函数的函数积分，称为超越积分。在高中数学，甚至是大学数学中，都可以认为这个积分是不存在的。

如果非要得出 sint^2的不定积分，可以利用它的泰勒展开式，它是无限个单项式的和，这些单项式是有规律的，因此它们的积分也是有规律的。最后再利用和的积分公式，即和的积分等于积分的和，就可以得到sint^2的不定积分了。注意，不能使用麦克劳林公式。因为麦克劳林公式只是sint^2在t=0处的多项式表达式。

不过我们还是来尝试一下，求出sint^2在t=0的不定积分。首先由sint^2的泰勒展开式：

sint^2=sint0^2 2t0(t-t0)sin(t0^2 π/2) 4t0^2(t-t0)^2sin(t0^2 π)/2 … [2t0(t-t0)]^nsin(t0^2 nπ/2)/n! o((t-t0)^n)，其中t0是常数，说明sint^2在每一个点的多项式表达式都是不同的。

得到∫sint^2dt=∫[sint0^2 2t0(t-t0)sin(t0^2 π/2) 4t0^2(t-t0)^2sin(t0^2 π)/2 … [2t0(t-t0)]^nsin(t0^2 nπ/2)/n! o((t-t0)^n)]dt=tsint0^2 t0(t-t0)^2sin(t0^2 π/2) 4t0^2(t-t0)^3sin(t0^2 π)/3! … [2t0(t-t0)]^n(t-t0)sin(t0^2 nπ/2)/(n 1)!=tsint0^2 ∑(i=1->n)(2t0)^i(t-t0)^(i 1)sin(t0^2 iπ/2)/(i 1)! C. 就是说sint^2在每一个点的不定积分都是不同的。

相对而言，如果要求(sint)^2的不定积分，那就容易得多了。根据cos2t=1-2(sint)^2，可以得到(sint)^2=(1-cos2t)/2。∫(sint)^2dt=∫(1-cos2t)/2 dt=t/2-sin2t /4 C.

如果求sint^2的定积分，则要具体问题具体分析。而如果求(sint)^2的定积分，则只要运用牛顿莱布尼茨公式即可。