3x+2y=54求x与y各是多少（求dydx）

本文主要内容，通过数学变形，并利用可分离变量方法求解分式微分方程dy/dx=(2x^3 3xy^2 x)/(3x^2y 2y^3-y)的通解。

​第一步：微分方程基本变形：

dy/dx=(2x^3 3xy^2 x)/(3x^2y 2y^3-y),

右边分母分子分别提取公因式x，y，则：

dy/dx=x(2x^2 3y^2 1)/y(3x^2 2y^2-1),

将右边提出的x，y移动到等号左边。

ydy/xdx=(2x^2 3y^2 1)/(3x^2 2y^2-1),

左边凑分分别到dy、dx中，得：

dy^2/dx^2=(2x^2 3y^2 1)/(3x^2 2y^2-1)。

第二步，对等号右边进行分离变形

设：(2x^2 3y^2 1)/(3x^2 2y^2-1)

=[2(x^2 a) 3(y^2 b)]/[3(x^2 a) 2(y^2 b)].

由对应项系数相等方程：

2a 3b=1,且3a 2b=-1。解方程得a=-1,b=1.

代入微分方程得：

dy^2/dx^2=[2(x^2-1) 3(y^2 1)]/[3(x^2-1) 2(y^2 1)].

第三步，换元法得新微分方程

设：u=(y^2 1)/(x^2-1),则：

u(x^2-1)=y^2 1,两边求全微分得：

(x^2-1)du udx^2=dy^2

dy^2/dx^2=u (x^2-1)du/dx^2，回代微分方程得：

u (x^2-1)du/dx^2

=[2(x^2-1) 3u(x^2-1)]/[3(x^2-1) 2u(x^2-1)]

=(2 3u)/(3 2u)。

第四步，对新微分方程积分

用分离变量积分法，对变形后的微分方程积分如下：

(x^2-1)du/dx^2=2(1-u^2)/(3 2u)

(3 2u)du/(1-u^2)=2dx^2/(x^2-1)

3∫du/(1-u^2)-∫d(1-u^2)/(1-u^2)=2∫d(x^2-1)/(x^2-1)

ln[(1 u)/(1-u)]^(3/2)-ln|1-u^2|=ln(x^2-1)^2 c1

[(1 u)/(1-u)]^(3/2)/(1-u^2)=c2(x^2-1)^2.

(1 u)^(1/2)*(1-u)^(-5/2)=c2(x^2-1)^2.

第五步，回代换元变量，得方程通解

(1 u)^(1/2)=c2(x^2-1)^2*(1-u)^(5/2).

[(x^2 y^2)/(x^2-1)]^(1/2)=c2(x^2-1)^2*[(x^2-y^2-2)/(x^2-1)]^(5/2)

[(x^2 y^2)/(x^2-1)]^(1/2)=c2(x^2-1)^(-1/2)*(x^2-y^2-2)^(5/2)

即：本题微分方程的通解为：

(x^2 y^2)=C(x^2-y^2-2)^5。