若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特殊情况。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说b能被a除尽（或说a能除尽b）。

整除

To be divisible by

zhěng chú

数学、计算

除尽

余数为零

带余数除法

区别联系

整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说b能被a除尽（或说a能除尽b）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

基本性质

①若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。

②对任意非零整数a，±a|a=±1。

③若a|b，b|a，则|a|=|b|。

④如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除[1]。

⑤对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r带余除法定理，是整除理论的基础。

⑥若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

辨别方法

常用辨别方法

（1）1与0的特性：，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）能被2整除的数的特征

若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征

1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

2，由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111能被3整除。

（4）能被4整除的数的特征

若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征

若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征

若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征

1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。

2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。同能被11,13整除的数的特征。

（8）能被8整除的数的特征

若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）能被9整除的数的特征

若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）能被10整除的数的特征

若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）能被11整除的数的特征

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

（12）能被12整除的数的特征

若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

其他辨别方法

（13）能被13整除的数的特征

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）能被17整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同能被7整除的特征一样。

2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（15）能被19整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续使用能被13整除特征的方法。

2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（16）能被23整除的数的特征

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

我们可以这样证明：首先，位数是3的倍数，所以他就含有因子3，把他这个数的位数称为n；其次每位上的数字是一样的，把每位上的数字称为m，所以这个数字的数字和就是：n*m。但n含有因子3，那么它们的数字和就含有因子3，结论得证。

统一方法

设整数x的个位数为a，判断其是否能被n整除：令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*)，则x=n[10k+(10m+1)a/n]，要使x能被n整除，只要(10m+1)/n为自然数。