微分的必要性和充分性（微分的意义与用途）

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如下图：

由上图可以看出，微分其实就是由于自变量的改变而导致的因变量的变化中的主要部分。

上述定义明确了这一点。

图1

上图表明微分的几何意义是：对于曲线上的某一点做一条切线，再假定切点的横坐标变化delta x,这时微分dy表示的是切线上这两点相应的纵坐标的变化量，而函数增量delta y则是曲线上相同两点纵坐标的变化量。

从以上导数的定义可以看出，对一个函数求导，得出的结果还是一个函数；但某个固定点的导数则是一个数字。

同样，对于一个函数的微分结果也是一个函数，而且是一个非线性函数，比如

dy=x^2dx。

但某个固定点的微分还是一个函数，只不过是一个线性函数。从图1可以看出，这个线性函数的意思表示的是在曲线上不同的点，dy随dx变化的斜率不同而已。

上面两个公式表示的是导数和微分之间的简单关系。

微分可以用于近似计算：

综上所述：

1：微分表示的是由于自变量的改变而导致的因变量的变化中的主要部分。

2：一个函数求导，得出的结果还是一个函数；但某个固定点的导数则是一个数字。一个函 数的微分结果也是一个函数，而且是一个非线性函数，但某个固定点的微分还是一个函数。

3：微分可以用于近似计算。