点积在数学中，又称数量积（dotproduct; scalarproduct），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a= [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：

a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

点积

dotproduct; scalarproduct

标量积、数量积、内积

二元运算

u、v、u,v夹角的余弦

u,v的点积=|u||v|cos<u,v>

线性代数

定义

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

广义定义

在一个向量空间V中，定义在上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

代数定义

设二维空间内有两个向量 和 ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

更一般地，n维向量的内积定义如下：

几何定义

设二维空间内有两个向量和，和表示向量a和b的大小，它们的夹角为，则内积定义为以下实数：

该定义只对二维和三维空间有效。

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

定义的等价性

以三维空间为例子。

①几何定义推导代数定义

设，，根据向量坐标的意义可知

根据点乘的分配律得

又

所以

注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需借助向量关系，因此不属于循环推导。

点乘分配律的几何证明：

(a+b)·c=a·c+b·c

c=0时上式是成立的；

c≠0时，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

②代数定义推导几何定义

设它们的终点分别为和，原点为O，夹角为。则

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距离公式对这个等式稍作处理，得

去括号、合并得

注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识。