为什么高斯定理要积分两次（一个重要的反常积分）

高斯函数

从-∞到 ∞的积分(反常积分)

称为高斯积分。

高斯积分的计算

高斯积分不能直接计算，因为高斯函数e^(-x^2）的原函数不是初等函数。

利用二重积分，我们可以证明高斯积分等于π的平方根:

推导见同济大学《高等数学》下册。

你喝水、看时间或穿衣服时都可以看到推导:

这个结论来之不易，且十分有用，希望读者能记住。

更一般的高斯积分是:

证明不难(只需作一个积分变换)，留给读者。

高斯积分的应用

在概率论中，高斯积分可以用来计算正态分布的密度

的积分

其结果是1 (整个概率密度的积分总是1)，

即

或者

川大徐小湛 2019/3/28