祖暅原理的数学证明（祖暅原理是什么）

祖暅(音同“更”,四声)，又名祖暅之，中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。祖暅原理在西方文献中称为“卡瓦列利原理”，1653年意大利数学家卡瓦列利独立提出，对微积分的建立有重要影响。

祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。以长方体体积公式和祖暅原理为基础，可以求出柱、锥、台、球等的体积。

“幂势既同，则积不容异”。“幂”是指水平截面的面积，“势”是指几何体的高。意思是两个等高的几何体，若其任意等高处的水平截面积相等，则这两个几何体的体积相等。

祖暅原理也可以这样理解：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

祖暅原理

这个原理很容易理解。取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等。

两垛欧元2分硬币具有相同体积

一摞书的体积与变形前相等

一摞纸张的体积变形前后相等

球体积的计算

由祖暅原理，半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的几何体即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。

球体积公式的推导过程

探究柱体的体积公式

利用祖暅原理推导柱体体积公式

探究椎体的体积公式

利用祖暅原理推导椎体体积公式

今天我们先到这里吧，下次我们看一看祖暅原理在高考及模拟中的试题！